Är 1 Ett Primtal
Det i sin tur leder till att om $n=a\cdot b$ n = a · b måste $a\le\sqrt{n}$ a ≤ √ n eller $b\le\sqrt{n}$ b ≤ √ n, eftersom att vi då får att $a\cdot b\le\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}=n$ a · b ≤ √ n · √ n = n. Och om då talet $n$ n inte är delbart med talet $\sqrt{n}$ √ n eller någon primtal mindre än det kommer det inte heller vara delbart med något annat tal. Vi tar ett exempel för att förtydliga detta. Exempel 3 Undersök om talet $211$ 211 är ett primtal. Lösning Om $211$ 211 inte är ett primtal kan det faktoriseras till en produkt, så här, $211=a\cdot b$ 211 = a · b, där $a$ a eller $b$ b. Talet $211$ 211 skulle eventuellt kunna delas upp i många fler faktorer än två, men den största möjliga faktor skulle i alla fall vara $\sqrt{211}$ √ 211. Varför det? Jo, för att om vi skriver tvåhundraelva som produkten $a\cdot b$ a · b, kan vi konstatera att om $a\le\sqrt{211}$ a ≤ √ 211 måste $b\ge\sqrt{211}$ b ≥ √ 211 och tvärt om. Utifrån detta resonemang kan vi dra slutsatsen att den största möjliga heltalsfaktorn vi kan faktorisera talet $211$ 211 med är talet $15$ 15 eftersom att $\sqrt{211}\approx15$ √ 211 ≈ 15.
Varför är inte 1 ett primtal
- Världarnas krig (1953) – Wikipedia
- [PDF] Ett primtal är ett heltal som är större än 1 och som ej kan skrivas som - Free Download PDF
- Dorian Grays porträtt - Oscar Wilde | Science Fiction Bokhandeln
- Är 1 primtal
- Grimstaskolan upplands väsby
- Är 1 ett primal carnage
- Är 1 ett primtal form
- Är 1 ett primtal inches
Definitionen av Sammansatta tal Ett positiv heltal som inte är ett primtal är ett sammansatt tal. Talet är sammansatt av multiplikation mellan primtal. På grund av detta kan man kan dela upp alla sammansatt tal i faktorer. Man säger att man primtalsfaktoriserar. Sammansatta tal Ett sammansatt tal är ett heltal större än $1$ 1, som för utom sig självt och talet $1$, har ytterligare en delare. Delaren som inte är talet själv eller ett, kallas för en äkta delare. En äkta delare $d$ d, definieras som delbart med något heltal, utöver talen $\pm1$ ± 1 och $\pm d$ ± d, alltså talet självt och talet självt med ombytt tecken. Att Primtalsfaktorisera När man faktoriserar ett tal så delar du upp det i så kallade faktorer. Exempelvis skulle vi kunna faktorisera $12 = 2\cdot6$. Då har vi delat upp siffran i faktorer, dock inte primtalsfaktorer då siffran 6 inte är ett primtal. Istället kallar man då 6 för ett sammansatt tal, d. v. s. ett heltal som inte är ett primtal. Istället får vi fortsätta att faktorisera $12 = 2\cdot2\cdot3$ så att det bara består av primtal.
Ett primtal är ett heltal som är större än 1 som endast är delbart med talet 1 och sig självt. Definition av primtal Din skolas prenumeration har gått ut! Kontakta ansvarig lärare om att förnya eller byt till privatkonto. Din skolas prenumeration har gått ut! Förnya ert skolabonnemang genom att kontakta oss på: De positiva heltalen kan delas upp i primtal och s ammansatta tal. De sammansatta talen är produkter av primtal i olika kombinationer och kan därför primtalsfaktoriseras. Primtal Ett heltal $p$ är ett primtal om $p>1$ och endast är delbart med $1$ eller $p$. Här följer alla primtal mellan $1$ och $100$. $ 2, \, 3, \, 5, \, 7, \, 11, \, 13, \, 17, $ $\, 19, \, 23, \, 29, \, 31, \, 37, \, $ $41, \, 43, \, 47, \, 53, \, 59, \, 61, \, $ $67, \, 71, \, 73, \, 79, \, $ $83, \, 89, \, 97$ Men det finns oändligt många fler primtal. Matematikens legobitar Ett sätt att förstå primtalen är att tänka dem som matematikens legobitar. En erfaren legobyggare ser på sin konstruktion som en sammansättning av olika bitar.
6. 7. det är inte delbart med 2 (om vi delar med 2 får vi resten 1) ej heller med 3 (samma resonemang som för 2 ovan) ej heller med något av de andra primtalen (samma resonemang) alltså är inte 𝑝 delbart med något tal alltså är p självt ett primtal 𝑝 är större än 𝑛 och därmed är vårt antagande, att 𝑛 är det största primtalet, felaktigt. Motsägelsen implicerar att det finns oändligt många primtal. Aritmetikens fundamentalsats säger att varje positivt heltal kan skrivas i form av en produkt av primtal på ett (och endast ett sätt), om man ej tar hänsyn till primfaktorernas ordning. är 12 = 2 · 2 · 3, då man har tre primfaktorer. Primfaktorernas antal kan också vara ett, när talet självt är ett primtal såsom 5, och t. o. m. noll, när talet är 1 varvid det är frågan om den s. k. tomma produkten. 1 Bevis av satsen: 1. Lemma 1 Om heltalet a är större än eller lika med 2och om a inte är ett primtal, så är den minsta positiva äkta delaren till a ett primtal. Bevis av Lemma 1: Om a inte är ett primtal så måste det (enligt definitionen av primtal) ha någon positiv äkta delare och något måste vara minst.
Exempel 1 Primtalsfaktorisera talet $456$. Lösning Vi delar upp talet steg för steg till vi endast har faktorer som är primtal. $456=2⋅228$ $\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, =2⋅2⋅114$ $\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, =2⋅2⋅2⋅57$ $\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, =2⋅2⋅2⋅3⋅19$ Primtalsfaktorisera med faktorträd Till hjälp för att primtalsfaktorisera tal kan så kallade faktorträd användas. Här delar man steg för steg upp ett tal i mindre och mindre faktorer tills det endast består av primtal. Alla heltal större än noll kan faktoriseras så att de endast består av primtal. Exempel 2 Faktorisera talet $124$ 124 med hjälp av ett faktor träd. Lösning Nedan används ett faktorträd för att dela upp talet $ 124 $ i primtalsfaktorer. Delare och delbarhet Begreppet delbarhet motsvarar att kvoten man får när man dividerar två heltal, också är ett heltal. Som vi tidigare nämnde kan alla heltal delas upp i primtal och s ammansatta tal. De har olika möjliga delare, men alla heltal är åtminstone delbara med sig själv och talet $1$.
(Då har vi delat in a i dess primtalsfaktorer 𝑝1 och 𝑎1. ) Annars måste a1, enligt Lemma 1 ha en äkta delare som är ett primtal. Detta tal kallas för 𝑝2. Då är 𝑎1 = 𝑝2 ∙ 𝑎2, så att 𝑎 = 𝑝1 ∙ 𝑝2 ∙ 𝑎2. Är nu 𝑎2 ett primtal så håller Lemma 2. Om inte upprepas proceduren och eftersom 𝑎 > 𝑎1 > 𝑎2 >... > 2 så måste något 𝑎[𝑘] vara ett primtal. Därmed är a uppdelat i sina primtalsfaktorer. Enligt Lemma 2 så kan varje positivt heltal större än eller lika med 2 delas in i primtalsfaktorer. Nu ska det bevisas att det bara finns en uppdelning (bortsett ordning). Anta att det finns två olika primtalsfaktoriseringar. Vi kan skriva dem som: 𝑎 = 𝑝1 ∙ 𝑝2 ∙... ∙ 𝑝[𝑖] = 𝑞1 ∙ 𝑞2 ∙... ∙ 𝑞[𝑗] Vi vet att 𝑝1 delar a och då måste 𝑝1 dela 𝑞1 ∙ 𝑞2 ∙... ∙ 𝑞[𝑗]. Men då måste𝑝1 dela 𝑞[𝑘] för något 𝑘, men då 𝑞[𝑘] är ett primtal måste 𝑝1 vara lika med 𝑞[𝑘]. Vi kan då dela båda led med 𝑝1. Proceduren kan upprepas tills vi kommer till ett av tre fall. 1 = 1, Satsen bevisad. Alla p[l] är lika med något q[k].
Det han är mest känd för är en metod för att bestämma vilka tal som är primtal. Metoden kallas för Eratosthenes såll och utgörs av följande steg: Gör först en lista med alla heltal större än 1 upp till en viss övre gräns n. Stryk från listan alla jämna tal större än 2. Listans nästa tal som inte är struket är ett primtal. Stryk sedan alla tal, som är större än det primtal som du hittade i det föregående steget och samtidigt är multiplar av det primtalet. Upprepa nu steg 3-4 tills nästa tal på listan som varken är struket eller ett primtal är större än kvadratroten ur talet n (den övre gränsen). Alla tal som nu återstår på listan är primtal. En metod som utgörs av en begränsad uppsättning instruktioner för att lösa en viss uppgift, till exempel den metod vi just gått igenom för att hitta primtal, kallas för en algoritm. Videolektioner I den här videon ska vi gå igenom primtal. Här lära vi om primtalsfaktorisering. Här går vi igenom vad ett primtal, sammansatt tal och primtalsfaktorer är.
Heltalet $a$ a är delbart med ett heltal $b\ne0$ b ≠ 0 om kvoten $\frac{a}{b}$ a b är ett heltal. Man kan då säga att "$b$ delar $a$" eller att "$b$ är en delare till $a$", vilket skrivs som $ b \, | \, a $. Exempelvis delar talet $2$ talet $28$ då $\frac{28}{2}=$ 28 2 = $14$ 14, eftersom att kvoten är ett heltal och vi säger att $ 2 \, | \, 28 $, som vi uttalar som "$2$ delar $28$" eller "$2$ är en delare till $28$". Delbarhet för primtal och sammansatta tal Alla primtal är alltid och endast delbara med sig själva och talet $1$. Alla sammansatta tal är alltid delbara med sig själva och talet $1$, samt talets alla primtalsfaktorer och alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera primtalsfaktorerna. Om vi exempelvis har talet $12$ 12 så är detta tal delbart med $12, \text{}6, \text{}3, \text{}4, \text{}2$ 12, 6, 3, 4, 2 och $1$ 1. Detta beror på att talet $6$ är ett så kallat sammansatt tal, vilket har primtalsfaktorerna $12=2\cdot2\cdot3$ 12 = 2 · 2 · 3. Där med är talet $12$ 12 delbart med med sig själv och talet $1$ 1, talets primtalsfaktorer $2$ 2 och $3$ 3 samt alla möjlig kombinationer av dessa.
Då används Eratosthenes algoritm för att undersöka vilka tal som är primtal upp till ditt valda tal. Nedanför sökverktyget ser du hur själva algoritmen fungerar. Gör en lista på alla tal från $2$ till ett tal du väljer, vi kallar det för $n$. Ta bort alla jämna tal från listan som är större än $2$. Ett alternativ för oss som har datorer är att direkt göra en lista på alla udda tal större än $2$. Det första talet i listan är nu ett primtal, nämligen talet $3$. Behåll talet men ta bort alla andra tal som är delbara av det primtalet. Dessa tal kan ju inte vara ett primtal. Upprepa nu steg $3$ och $4$ tills du har nått ett tal som är större än kvadratroten ur ditt maxtal $n$. D. genom att ta kvadratroten ur ditt tal så hittar du det största tal som kan vara en primtalsfaktor till ditt tal. De tal som blir kvar i listan är endast primtal. Exempel i videon Primtalsfaktorisera talet $12$. Primtalsfaktorisera talet $66$ Primtalsfaktorisera talet $224$ med hjälp av ett faktorträd.
Med hjälp av primtal kan vi göra ett bättre val av multipel, som gör att vi kan skriva nämnaren i bråktalet på en enklare form. Med talen 2 och 3 var det relativt enkelt att hitta MGM, men hur gör man om man till exempel har talen 42 och 48, och vill hitta MGM till dessa tal? En multipel av 42 och 48 är produkten av de båda talen: $$42\cdot 48=2016$$ För att hitta MGM till 42 och 48 kan vi börja med att primtalsfaktoriserar talen, då får vi $$42={\color{Red} 2}\cdot {\color{Red} 3}\cdot 7$$ $$48=2\cdot 2\cdot2\cdot{\color{Red} 2}\cdot {\color{Red} 3}$$ Vi kan se att 42 och 48 har talen 2 och 3 (markerade i rött) som gemensamma primtalsfaktorer. Den minsta gemensamma multipeln blir då det tal, vars primtalsfaktorisering innehåller alla gemensamma primtalsfaktorer (som bara behöver vara med en gång) tillsammans med alla icke-gemensamma primtalsfaktorer. $$MGM(42, \ 48)={\color{Red} 2}\cdot {\color{Red} 3}\cdot 7\cdot 2\cdot 2\cdot 2=336$$ Eratosthenes såll Eratosthenes var en grekisk vetenskapsman som levde ca 276-194 Han var föreståndare för biblioteket i Alexandria i nuvarande Egypten och uppfann bland annat en metod för att beräkna jordens storlek.